Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(g) integral 6 x(5-3 x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a , usando o método de substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral fazendo uma troca de variável que deixa a integral mais fácil de resolver. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da expressão pode ser substituída. Observando o denominador u = 5 - 3x^2 e o numerador , percebemos que a derivada de em relação a é , que é semelhante ao numerador.
Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -6x em relação a du = -6x , dx :
6x , dx = -du
Isso significa que:
Observamos que temos no numerador da nossa integral, então podemos reorganizar a expressão para se adequar à substituição:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 6x(5 - 3x^2)^2 , dx = integral -duu^2 e na integral original:

Passo 5

Simplificando a integral:
integral -duu^2 = -integral u^-2 , du
A integral de integral u^-2 , du = u^-1-1 + C = -1u + C é:
-integral u^-2 , du = 1u + C
Portanto:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo 1u + C = 15 - 3x^2 + C :

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

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