Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(j) integral ln (x)+2x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral ln (x)+2x , dx. Aqui, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo usada para simplificar integrais complicadas. Precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável mais simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que temos ln(x) na integral, então vamos definir:
u = ln(x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = 1x
du = 1x , dx
Isso nos mostra que 1x , dx é igual a du, o que será útil na próxima etapa.

Passo 3

Substituímos u e du na integral original:
integral ln(x) + 2x , dx = integral (u + 2) , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais simples de resolver.

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a u:
integral (u + 2) , du = integral u , du + integral 2 , du
= u^22 + 2u + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = ln(x) de volta, a solução da integral é:
(ln x)^22 + 2, ln x + C

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