Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(i) integral x^3 raiza+b x^4 d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral integral x^3 raiza + b x^4 , dx. Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando parte da expressão por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir. Olhando para raiza + b x^4, vimos que dentro da raiz tem a + b x^4. A derivada de x^4 é 4x^3, que já aparece na frente. Então, faz sentido usar isso na substituição.
Vamos definir:
u = a + b x^4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = 4b x^3 Rightarrow du = 4b x^3 dx

Passo 4

Queremos expressar x^3 dx em termos de du. A partir da equação acima:
x^3 dx = du4b

Passo 5

Vamos substituir u e x^3 dx na integral original:
integral x^3 raiza + b x^4 , dx = integral raizu cdot du4b = 14b integral u^12 , du

Passo 6

Agora, é só integrar u^12 em relação a u:
integral u^12 , du = 23 u^32 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = a + b x^4 de volta na expressão, a solução final da integral é:
integral x^3 raiza + b x^4 , dx = 16b (a + b x^4)^32 + C

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