Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(h) integral d y(b+a y)^3

Passo 1

Então, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional onde a variável aparece no denominador elevado a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que a expressão u = b + a y está no denominador e é uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
dudy = a Rightarrow du = a , dy
Agora, precisamos encontrar dy = dua em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
O que significa que:

Passo 3

Substituindo integral dy(b + a y)^3 = integral duau^3 = 1a integral u^-3 , du e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Vamos integrar integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12 u^2 + C em relação a 1a ( -12 u^2 ) + C = -12 a u^2 + C . A integral de é , desde que . Aqui, , então:
Multiplicando pela constante que tínhamos anteriormente:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original -12 a (b + a y)^2 + C substituindo :
Isso nos dá a antiderivada da função original.

Resposta

A integral -12 a (b + a y)^2 + C é igual a:

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