Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(m) integral cos (a x) d xraizb+sen(a x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos:
integral cos(a x) , dxraizb + sin(a x)
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais substituindo partes da expressão por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador, temos u = b + sin(a x) . Vamos definir:
Esse tipo de substituição é útil porque a derivada de é , que já está presente no numerador da nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(b + sin(a x)) , dx = a cos(a x) , dx , que é a derivada de cos(a x) , dx = dua em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral cos(a x) , dxraizb + sin(a x) = integral duaraizu = 1a integral duraizu e na nossa integral original:
Aqui, simplificamos a integral substituindo tudo em termos de .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-1/2 , du = 2 u^1/2 + C em relação a 1a integral duraizu = 1a cdot 2 raizu + C = 2a raizu + C . Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original 2a raizu + C = 2a raizb + sin(a x) + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a:
2a raizb + sin(a x) + C

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