Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(l) integral tg(x2) sec ^2(x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de usando o método de substituição. Vamos precisar lembrar como funciona a substituição em integrais e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observando a função, vemos que u = x2 aparece dentro das funções trigonométricas. Vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dudx = 12 implies dx = 2 , du em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral tan(u) cdot sec^2(u) cdot 2 , du = 2 integral tan(u) cdot sec^2(u) , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral v = tan(u) implies dv = sec^2(u) , du . Podemos usar uma substituição adicional aqui. Observando que a derivada de é , vamos definir:

Passo 6

Substituindo 2 integral v , dv na integral:

Passo 7

Agora, integramos 2 cdot v^22 = v^2 em relação a :

Passo 8

Voltando para v = tan(u) = tan(x2) e depois para ( tan(x2) )^2 + C :
Então, a integral se torna:

Resposta

integral tan(x2) cdot sec^2(x2) , dx = tan^2(x2) + C

Exercícios relacionados