Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(n) integral 1x(ln (x))^2 d x

Passo 1

Então, galera, a gente tem que calcular a integral usando o método de substituição. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para , percebemos que o está no denominador e é uma boa ideia tentar substituí-lo. Então, vamos deixar .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Se , então , o que implica que .

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão da integral com a substituição que fizemos:
integral 1x(ln(x))^2 dx = integral 1u^2 cdot du
Aqui, substituímos por e por , simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: integral u^-2 du = -u^-1 + C = -1u + C . Sabemos que pode ser escrito como . A integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar à variável original -1u + C = -1ln(x) + C . Lembrando que , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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