Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral usando o método de substituição. Isso está na área de Cálculo Integral, mais especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, a gente vai precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a expressão e facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral: . Parece bem complicado, né? Então, vamos tentar simplificar isso com uma substituição inteligente. Uma boa estratégia aqui é escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável.

Passo 3

Vamos definir . Isso vai ajudar a simplificar o denominador. Agora, precisamos achar em termos de para fazer a substituição completa.
Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que:
Logo,

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral original:
Perceba que cancelou, deixando a expressão mais simples: .

Passo 5

Agora, vamos integrar . A regra de integração para onde é:
Aplicando isso:

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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