Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de substituição. Esse tipo de integral geralmente envolve uma substituição que simplifica a expressão sob a raiz para facilitar a integração. Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição em integrais e como lidar com expressões quadráticas ou de potências superiores dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando o denominador
, percebemos que a expressão
pode ser complicada para integrar diretamente. Então, vamos tentar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
igual à expressão dentro da raiz:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Lembrando que
, podemos resolver para
:
No entanto, isso complica a expressão. Em vez disso, vamos reconsiderar nossa substituição inicial.
Passo 7
Vamos tentar uma substituição diferente. Observando a estrutura da integral, vamos definir:
Agora, substituímos
por
na integral.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, temos uma integral da forma
, que é uma integral padrão cujo resultado é
multiplicado por
.
Comparando, temos
e
, então
e
.
Passo 10
Aplicando a fórmula da integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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