Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral r d rraiz16-9 r^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse tipo de integral geralmente envolve uma substituição que simplifica a expressão sob a raiz para facilitar a integração. Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição em integrais e como lidar com expressões quadráticas ou de potências superiores dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando o denominador , percebemos que a expressão pode ser complicada para integrar diretamente. Então, vamos tentar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = 16 - 9 r^4 igual à expressão dentro da raiz:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de dudr = -36 r^3 em relação a dr = du-36 r^3 :
Então, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Agora, vamos substituir integral r , drraiz16 - 9 r^4 = integral r cdot du-36 r^3raizu e = integral 1-36 r^2 raizu , du na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Lembrando que 9 r^4 = 16 - u , podemos resolver para r^4 = 16 - u9 :
r^2 = raiz16 - u9
No entanto, isso complica a expressão. Em vez disso, vamos reconsiderar nossa substituição inicial.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição diferente. Observando a estrutura da integral, vamos definir:
t = r^2
dt = 2r , dr
dt2 = r , dr
Agora, substituímos por na integral.

Passo 8

Substituindo na integral:
integral r , drraiz16 - 9 r^4 = integral dt2raiz16 - 9 t^2
= 12 integral dtraiz16 - 9 t^2

Passo 9

Agora, temos uma integral da forma , que é uma integral padrão cujo resultado é multiplicado por .
Comparando, temos e , então e .

Passo 10

Aplicando a fórmula da integral:
12 cdot 13 arcsin(3 t4) + C
= 16 arcsin(3 t4) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Lembrando que 16 arcsin(3 r^24) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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