Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso está relacionado a sequências numéricas e convergência/divergência. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essa expressão e analisar o comportamento dela quando
cresce infinitamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observe que o numerador é o produto dos números pares até
e o denominador é o produto dos números ímpares até
. Podemos reescrever isso usando fatorial:
Isso porque multiplicar todos os pares até
é o mesmo que multiplicar 2 por 4 por 6 e assim sucessivamente, o que dá
multiplicado pelo fatorial de
.
No denominador:
Isso se deve ao fato de que o produto dos números ímpares pode ser expresso dessa forma usando o fatorial de
.
Passo 3
Agora, substituindo essas expressões na nossa sequência
:
Simplificando mais:
Passo 4
Para analisar a convergência dessa sequência, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial para valores grandes de
:
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, analisando o comportamento quando
tende ao infinito. O termo
diminui para zero muito mais rápido do que
cresce. Portanto, o produto desses termos também tende a zero.
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
tende ao infinito.