Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: a_n = (2 * 4 * 6 * ... * (2n)) / (1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a sequência converge ou diverge. Isso está relacionado a sequências numéricas e convergência/divergência. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essa expressão e analisar o comportamento dela quando cresce infinitamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observe que o numerador é o produto dos números pares até e o denominador é o produto dos números ímpares até . Podemos reescrever isso usando fatorial:
Isso porque multiplicar todos os pares até é o mesmo que multiplicar 2 por 4 por 6 e assim sucessivamente, o que dá multiplicado pelo fatorial de .
No denominador:
Isso se deve ao fato de que o produto dos números ímpares pode ser expresso dessa forma usando o fatorial de .

Passo 3

Agora, substituindo essas expressões na nossa sequência :
Simplificando mais:

Passo 4

Para analisar a convergência dessa sequência, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial para valores grandes de :
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, analisando o comportamento quando tende ao infinito. O termo diminui para zero muito mais rápido do que cresce. Portanto, o produto desses termos também tende a zero.

Resposta

A sequência converge para 0 quando tende ao infinito.

Exercícios relacionados