Integrando por partes, prove que L{t^n} = n!/s^(n+1), n ∈ N \ {0}.

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos provar, usando integração por partes, que a Transformada de Laplace de é , onde é um número natural diferente de zero. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, , então queremos calcular:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Para aplicar isso, precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos definir:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Vamos analisar os limites agora. Quando tende a , tende a zero mais rápido que qualquer potência de , então o termo se anula. Para , o termo também é zero porque é zero. Portanto, o primeiro termo desaparece.

Passo 5

Ficamos então com:
Perceba que a integral que sobraram é exatamente a Transformada de Laplace de . Isso sugere que podemos usar uma abordagem recursiva.

Passo 6

Vamos chamar . Se continuarmos aplicando esse processo, teremos:
Continuando até chegar a , que sabemos que é :

Passo 7

Multiplicando todos os termos, teremos:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os inteiros positivos até .

Resposta

A Transformada de Laplace de é para todo .

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