Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos provar, usando integração por partes, que a Transformada de Laplace de é , onde é um número natural diferente de zero. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, , então queremos calcular:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Para aplicar isso, precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos definir:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Vamos analisar os limites agora. Quando tende a , tende a zero mais rápido que qualquer potência de , então o termo se anula. Para , o termo também é zero porque é zero. Portanto, o primeiro termo desaparece.
Passo 5
Ficamos então com:
Perceba que a integral que sobraram é exatamente a Transformada de Laplace de . Isso sugere que podemos usar uma abordagem recursiva.
Passo 6
Vamos chamar . Se continuarmos aplicando esse processo, teremos:
Continuando até chegar a , que sabemos que é :
Passo 7
Multiplicando todos os termos, teremos:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os inteiros positivos até .