Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(i) integral 1raizx^2+4 d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral integral 1raizx^2+4 , dx usando a Tabela e. Além disso, vamos derivar a resposta para ter certeza de que está correta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais que envolvem raízes quadradas e expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da integral que temos. A integral está na forma integral 1raizx^2+a^2 , dx, onde a é uma constante. No nosso caso, a^2 = 4, então a = 2.

Passo 3

Agora, consultando a Tabela e, encontramos que:
integral 1raizx^2 + a^2 , dx = ln|x + raizx^2 + a^2| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Substituindo o valor de a = 2 na expressão encontrada, temos:
integral 1raizx^2 + 4 , dx = ln|x + raizx^2 + 4| + C

Passo 5

Para conferir se a integração está correta, vamos derivar a função resultante e verificar se obtemos a função original.
Derivando ln|x + raizx^2 + 4| em relação a x:
ddx ln|x + raizx^2 + 4| = 1x + raizx^2 + 4 (1 + xraizx^2 + 4)
Simplificando:
1raizx^2 + 4
Isso confirma que a derivada da nossa resposta é igual à função original da integral.

Resposta

A integral é ln|x + raizx^2 + 4| + C.

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