Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
(n) integral ln (x+1)x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos parar pra entender qual é o desafio aqui. A gente precisa calcular a integral de ln (x+1)x+1 d x usando o método de substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos ver o que a gente precisa: identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando a gente pode notar que ln(x+1) está no numerador e 1x+1 no denominador. Isso sugere que podemos deixar u = ln(x+1).

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du. Então:
u = ln(x+1) du = 1x+1 dx
Legal, agora a gente tem du = 1x+1 dx, que aparece na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral u , du
Isso porque ln(x+1) virou u e 1x+1 dx virou du.

Passo 5

Agora, essa integral é bem mais simples de resolver. Sabemos que:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original substituindo u por ln(x+1):
(ln(x+1))^22 + C

Resposta

A integral de ln (x+1)x+1 d x é igual a (ln(x+1))^22 + C, onde C é a constante de integração.

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