Nos exercícios de 1 a 29 , encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas:
(a) x = 1/2, x = raiz(47), y = x + 2, y^2 = 2 * x e x^2 = 2y,
(b) y = 5 - x^2 e y = x + 3,
© y = x^2 e y = 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (b) do exercício: encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, onde vamos calcular a área entre duas curvas. Para isso, precisamos descobrir onde essas curvas se intersectam e então integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as expressões de :
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Observando as funções:
  • Para entre -2 e 1, está acima de .
Então, a área entre as duas curvas será dada pela integral da diferença das funções de a :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a expressão para a área fica:
Agora, vamos calcular essa integral:
Avaliado de a :
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo os resultados:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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