Obtenha o conjunto solução de cada uma das desigualdades abaixo.
y)
;
y)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de desigualdades racionais, onde trabalhamos com frações que têm variáveis no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos onde o denominador é zero e também igualar as duas frações para encontrar os valores de
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que tornam os denominadores
e
iguais a zero, pois nesses pontos a expressão não está definida.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Então, os valores críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos igualar as duas frações para encontrar os pontos onde elas se encontram:
Para resolver essa igualdade, vamos multiplicar cruzado:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
Levantando todos os termos para um lado da equação:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Então:
Simplificando a raiz:
Portanto:
Passo 5
Agora, temos os pontos críticos e os pontos onde as frações são iguais. Vamos organizá-los na linha numérica para determinar os intervalos onde a desigualdade
é verdadeira.
Os pontos são:
-
(denominador ) -
(denominador ) -
e (pontos de igualdade)
Vamos analisar os intervalos:
Passo 6
Para cada intervalo, escolhemos um valor de teste e verificamos se a desigualdade é verdadeira.
Por exemplo:
- Para
:
Fazemos isso para todos os intervalos e anotamos onde a desigualdade é verdadeira.
Resposta
O conjunto solução da desigualdade
é: