Obtenha o conjunto solução de cada uma das desigualdades abaixo.
y) (2x - 1)/(4x + 8) ≥ (4 - x)/(1 + 2x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de desigualdades racionais, onde trabalhamos com frações que têm variáveis no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos onde o denominador é zero e também igualar as duas frações para encontrar os valores de que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de que tornam os denominadores e iguais a zero, pois nesses pontos a expressão não está definida.
Resolvendo :
Resolvendo :
Então, os valores críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos igualar as duas frações para encontrar os pontos onde elas se encontram:
Para resolver essa igualdade, vamos multiplicar cruzado:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
Levantando todos os termos para um lado da equação:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Então:
Simplificando a raiz:
Portanto:

Passo 5

Agora, temos os pontos críticos e os pontos onde as frações são iguais. Vamos organizá-los na linha numérica para determinar os intervalos onde a desigualdade é verdadeira.
Os pontos são:
  • (denominador )
  • (denominador )
  • e (pontos de igualdade)
Vamos analisar os intervalos:

Passo 6

Para cada intervalo, escolhemos um valor de teste e verificamos se a desigualdade é verdadeira.
Por exemplo:
  1. Para :
Fazemos isso para todos os intervalos e anotamos onde a desigualdade é verdadeira.

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é:

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