Calcule as seguintes integrais usando o método de substituiço:
integral xraizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, mais especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão , uma boa ideia é deixar . Assim, a gente simplifica o que está dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para substituir . Se , então:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral xraizx^2-1 , dx = integral xraizu cdot du2x = integral 12raizu , du e na integral original:
Note que os se cancelaram, o que simplifica bastante a integral.

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integral 12raizu , du = 12 integral u^-12 , du
A integral de 12 cdot 2u^12 = u^12 = raizu é , então:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original raizu = raizx^2 - 1 . Lembrando que :

Resposta

integral xraizx^2-1 , dx = raizx^2 - 1 + C

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