Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
integral (x^2+1)(x^2-2)x^3 d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral de (x^2+1)(x^2-2)x^3 em relação a x. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente usando técnicas de simplificação e propriedades dos logaritmos e potências para resolver integrais. Vamos precisar simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos multiplicar os polinômios do numerador:
(x^2+1)(x^2-2) = x^2 cdot x^2 + x^2 cdot (-2) + 1 cdot x^2 + 1 cdot (-2) = x^4 - 2x^2 + x^2 - 2 = x^4 - x^2 - 2
Então, a integral fica:
integral x^4 - x^2 - 2x^3 dx

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador x^3:
x^4x^3 = x^1 = x
-x^2x^3 = -x^-1 = -1x
-2x^3 = -2x^-3
Então, a integral simplificada é:
integral ( x - 1x - 2x^-3 ) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1, desde que n neq -1.
  1. Para x:
    integral x , dx = x^22
  2. Para -1x:
    integral -1x , dx = -ln|x|
  3. Para -2x^-3:
    integral -2x^-3 , dx = -2 cdot x^-2-2 = x^-2 = 1x^2

Passo 5

Agora, somamos todas as integrais que encontramos:
x^22 - ln|x| + 1x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para conferir a resposta, vamos derivar o resultado encontrado:
ddx ( x^22 - ln|x| + 1x^2 + C ) = x - 1x - 2x^-3
Que é exatamente a expressão que tínhamos dentro da integral original. Então, está tudo certo!

Resposta

A integral é x^22 - ln|x| + 1x^2 + C.

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