Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis onde é dado por e .
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , onde e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a troca de variáveis e calcular o determinante Jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando , uma boa escolha é definir:
Essa mudança transforma a expressão dentro da raiz em , o que é mais fácil de manejar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as inversas dessa mudança para expressar e em termos de e :
Com isso, também precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação, que transforma a área na região original para a nova região no plano .
Passo 4
Vamos calcular o Jacobiano :
Então, o valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região 0 <= u <= 1 . Originalmente, 0 <= y = vraiz3 <= u Rightarrow 0 <= v <= u raiz3 varia de 0 a 1 e de 0 a . Substituindo:
Passo 6
Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaB x raizx^2 + 3 y^2 , dx , dy = integral duplaB' u raizu^2 + v^2 times | J | , du , dv e = 1raiz3 integral0^1 integral0^u raiz3 u raizu^2 + v^2 , dv , du :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^u raiz3 raizu^2 + v^2 , dv :
integral0^u raiz3 raizu^2 + w^2 , dw
Fazendo a substituição 12 [ w raizu^2 + w^2 + u^2 ln ( w + raizu^2 + w^2 ) ]0^u raiz3 , a integral se torna:
12 [ u raiz4u^2 + u^2 ln ( u raiz3 + raiz4u^2 ) - 0 ] = 12 [ 2u^2 + u^2 ln ( u raiz3 + 2u ) ]
A solução dessa integral é:
= u^2 + u^22 ln ( u (raiz3 + 2) )
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral principal:
1raiz3 integral0^1 u ( u^2 + u^22 ln ( u (raiz3 + 2) ) ) du
= 1raiz3 integral0^1 ( u^3 + u^32 ln ( u (raiz3 + 2) ) ) du
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 u^3 , du = 14
Para o segundo termo, fazemos a substituição , mas essa integral envolve funções logarítmicas e pode ser resolvida numericamente.
Passo 10
Finalmente, somando os resultados e multiplicando pelo fator , obtemos a resposta final da integral.
Resposta
Após todos os cálculos, a integral dupla é igual a .