Esboce as curvas de nível de
para os seguintes valores de
:
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Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre curvas de nível. A função dada é
e queremos esboçar as curvas de nível para os valores de
. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com equações matemáticas, especialmente elipses nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Basicamente, uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos
onde a função tem um valor constante
. Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Essa é a equação geral de uma elipse quando
. Uma elipse tem a forma:
Comparando com a nossa equação, podemos reescrever assim:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento
no eixo
e
no eixo
.
Passo 4
Vamos agora calcular os semi-eixos para cada valor de
:
-
Para
: A única solução possível ée , ou seja, um único ponto na origem. -
Para
: Portanto, os semi-eixos sãono e no . -
Para
: Aqui, os semi-eixos sãono e no . -
Para
: Os semi-eixos sãono e no .
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar as curvas de nível:
- Para
: Apenas o ponto . - Para
: Uma elipse pequena centrada na origem com semi-eixos aproximadamente no e no . - Para
: Uma elipse maior com semi-eixos no e no . - Para
: Uma elipse ainda maior com semi-eixos aproximadamente no e no .
Cada curva de nível representa uma elipse maior à medida que
aumenta.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são:
- Para
: O ponto . - Para
: A elipse . - Para
: A elipse . - Para
: A elipse .
No esboço, as elipses aumentam de tamanho à medida que
aumenta, todas centradas na origem.