Esboce as curvas de nível de f para os seguintes valores de k :
© f(x, y) = 4 x^2 + 9 y^2 ; k = 0, 2, 4, 6

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre curvas de nível. A função dada é e queremos esboçar as curvas de nível para os valores de . Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com equações matemáticas, especialmente elipses nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Basicamente, uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função tem um valor constante . Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa é a equação geral de uma elipse quando . Uma elipse tem a forma:
Comparando com a nossa equação, podemos reescrever assim:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento no eixo e no eixo .

Passo 4

Vamos agora calcular os semi-eixos para cada valor de :
  • Para :
    A única solução possível é e , ou seja, um único ponto na origem.
  • Para :
    Portanto, os semi-eixos são no e no .
  • Para :
    Aqui, os semi-eixos são no e no .
  • Para :
    Os semi-eixos são no e no .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar as curvas de nível:
  • Para : Apenas o ponto .
  • Para : Uma elipse pequena centrada na origem com semi-eixos aproximadamente no e no .
  • Para : Uma elipse maior com semi-eixos no e no .
  • Para : Uma elipse ainda maior com semi-eixos aproximadamente no e no .
Cada curva de nível representa uma elipse maior à medida que aumenta.

Resposta

As curvas de nível da função para são:
  • Para : O ponto .
  • Para : A elipse .
  • Para : A elipse .
  • Para : A elipse .
No esboço, as elipses aumentam de tamanho à medida que aumenta, todas centradas na origem.

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