Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis
com
dado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando a técnica de mudança de variáveis. A questão pede para calcularmos:
onde a região
é definida por
e
. Essencialmente, estamos lidando com uma região semicircular de raio 1 no plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos ou regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas
e polares
é dada por:
E o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função dentro da integral e a região de integração em coordenadas polares. A função se torna:
E a região
, que é um semiciclo de raio 1, em coordenadas polares é descrita por:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim, a integral se transforma em:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de
de
a
é simplesmente
, então temos:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: