Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis integral duplaB sen(x^2+y^2) d x d y com B dado por x^2+y^2 <= 1 e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando a técnica de mudança de variáveis. A questão pede para calcularmos:
onde a região integral duplaB sen(x^2+y^2) , dx , dy é definida por e . Essencialmente, estamos lidando com uma região semicircular de raio 1 no plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos ou regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por x = r costheta e y = r sintheta , onde:
  • dx , dy = r , dr , dtheta é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas e polares é dada por:
E o elemento de área em coordenadas polares se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral e a região de integração em coordenadas polares. A função se torna:
E a região sen(r^2) , que é um semiciclo de raio 1, em coordenadas polares é descrita por:
0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= pi

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 r sen(r^2) , dr :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja 12 integral0^1 sen(u) , du = 12 [ -cos(u) ]0^1 = 12 ( -cos(1) + cos(0) ) , então 12 ( 1 - cos(1) ) ou . Assim, a integral se transforma em:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi 12 ( 1 - cos(1) ) , dtheta = 12 ( 1 - cos(1) ) integral0^pi , dtheta
A integral de 12 ( 1 - cos(1) ) cdot pi de a é simplesmente , então temos:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi2 (1 - cos(1))

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