Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
h) sumn=1^infty(3 n+12 n)^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty(3n + 12n)^n x^n
Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências, especificamente o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até qual valor de a série de potências converge. E o intervalo de convergência é o intervalo de em torno do centro da série onde a série realmente converge.
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 3

O Teste da Razão diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:
an+1an = (3(n+1) + 12(n+1))^n+1 div (3n + 12n)^n
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então vamos calcular :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
an+1an = (3n + 42n + 2)^n+1 times (2n3n + 1)^n
Isso pode ficar complicado, então uma maneira mais fácil é usar o logaritmo para facilitar o limite. Porém, para simplificar, vamos considerar que:
limn to infty (3n + 12n)^n = (32)^n
Portanto, aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | 32 x | = | 32 x |

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que | 32 x | < 1 implies |x| < 23 :
Então, o raio de convergência é .
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, verificamos se a série converge nos extremos e .

Passo 6

Vamos testar sumn=1^infty(3n + 12n)^n (23)^n = sumn=1^infty(3n + 12n times 23)^n = sumn=1^infty(1 + 13n)^n :
sumn=1^infty(3n + 12n)^n (-23)^n = sumn=1^infty(-1)^n (3n + 12n times 23)^n = sumn=1^infty(-1)^n (1 + 13n)^n
À medida que cresce, tende a , que é uma constante maior que 1. Assim, a série diverge em .
Agora, testamos :
Novamente, tende a , e o termo geral não tende a zero. Portanto, a série também diverge em .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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