Encontre o raio e o intervalo de convergência para as Séries de Potências:
[2] sumn=1^infty 10^n(x-1)^nn^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
sumn=1^infty 10^n(x-1)^nn^3
Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência. O teste diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, nosso an é 10^n(x-1)^nn^3, então vamos calcular:
an+1an = 10^n+1(x-1)^n+1(n+1)^3 cdot n^310^n(x-1)^n = 10(x-1) cdot (nn+1)^3

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | 10(x-1) cdot (nn+1)^3 | = | 10(x-1) | cdot limn to infty (nn+1)^3
Sabemos que:
limn to infty (nn+1)^3 = 1
Portanto:
L = | 10(x-1) |

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
| 10(x-1) | < 1
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x que fazem a série convergir.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 10:
| x - 1 | < 110
Isso significa que x está a menos de 110 de distância de 1.

Passo 6

Vamos agora encontrar o raio de convergência. A desigualdade | x - 1 | < 110 nos mostra que o raio é 110.
Para o intervalo de convergência, adicionamos e subtraímos 110 de 1:
1 - 110 < x < 1 + 110 910 < x < 1110

Passo 7

Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais x = 910 e x = 1110.
Para x = 910:
sumn=1^infty 10^n(910-1)^nn^3 = sumn=1^infty 10^n(-110)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^nn^3
Essa é uma série alternada que converge pela Alternância de Séries.
Para x = 1110:
sumn=1^infty 10^n(1110-1)^nn^3 = sumn=1^infty 10^n(110)^nn^3 = sumn=1^infty 1n^3
Essa é uma série p com p = 3, que converge porque p > 1.

Resposta

O raio de convergência é 110 e o intervalo de convergência é [ 910, 1110 ].

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