Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
a) sumk=2^infty x^k(k-1) k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão. Precisamos encontrar até onde pode variar para que a série converja.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. A série dada é:
sumk=2^infty x^k(k-1) k
Aqui, o termo geral ak = x^k(k-1) k é:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão para determinar o raio de convergência. O teste da razão diz que a série limk to infty | ak+1ak | < 1 converge se:
Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Calculemos ak+1ak = x^k+1k (k+1)x^k(k-1) k = x^k+1 cdot (k-1) kx^k cdot k (k+1) = x (k-1)k+1 :

Passo 5

Agora, tomamos o limite quando limk to infty | x (k-1)k+1 | = |x| cdot limk to infty k-1k+1 = |x| cdot 1 = |x| tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos sumk=2^infty 1^k(k-1) k = sumk=2^infty 1(k-1) k e sumk=2^infty (-1)^k(k-1) k .
  • Para :
A série se torna:
Essa é uma série telescópica que converge.
  • Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada, e aplicando o Teste da Série Alternada, ela também converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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