Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular usando a técnica de mudança de variável, que também conhecemos como substituição. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição em integrais e conhecer as integrais básicas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em três partes para facilitar a resolução:

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: .
A função é uma função exponencial cuja integral é bem direta. Sabemos que a integral de em relação a é mais a constante de integração.
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: .
A função seno também tem uma integral conhecida. A integral de em relação a é mais a constante de integração.
Aqui, , então:

Passo 5

Por último, vamos resolver a terceira integral: .
Primeiro, podemos reescrever como . A integral de em relação a é mais a constante de integração, desde que .
Aqui, , então:

Resposta

Juntando todas as partes, a integral dada é:
Onde é a constante de integração.

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