Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável: integral x raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a integral, o que está dentro da raiz quadrada é u = 1 + x^2 . Vamos definir uma nova variável dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx para simplificar essa expressão:
x , dx = du2
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Percebemos que temos um na integral original, então podemos rearranjar para expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral x raiz1+x^2 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du e na integral original:
Simplificamos a integral para uma expressão mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 em relação a 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2 :
Multiplicando pelo fator que tínhamos:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original 13 u^3/2 = 13 (1 + x^2)^3/2 substituindo :
Finalmente, não nos esquecemos da constante de integração .

Resposta

integral x raiz1+x^2 , dx = 13 (1 + x^2)^3/2 + C

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