Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável: integral sen raizxraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos que calcular a integral usando mudança de variável. Isso significa que vamos substituir uma parte da expressão por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a resolução. Observando a integral, vemos que u = raizx aparece dentro da função seno e também no denominador. Então, faz sentido definir uma nova variável para . Vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar u = x^1/2 dudx = 12 x^-1/2 du = 12 x^-1/2 dx dx = 2 x^1/2 du dx = 2u , du (já que u = raizx) com . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :
á

Passo 4

Substituindo integral sen raizxraizx , dx = integral sen uu cdot 2u , du e integral sen uu cdot 2u , du = 2 integral sen u , du na integral original, temos:
Simplificando, o no denominador cancela com o que está multiplicando:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais fácil: 2 integral sen u , du = -2 cos u + C . Sabemos que a integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original -2 cos u + C = -2 cos raizx + C substituindo :

Resposta

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