Um fabricante de blusas de esporte determina que o custo marginal de fabricação de unidades é dado por . Se o custo de fabricação de uma unidade é , determine a função custo e o custo de produção de 50 unidades.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos que o custo marginal de fabricar unidades de blusas é e que o custo de fabricar uma unidade é de R$25,00. Nosso objetivo é determinar a função de custo total e calcular quanto custaria produzir 50 unidades. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração, para encontrar a função de custo a partir do custo marginal.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é o custo marginal. Ele representa a taxa de variação do custo total em relação ao número de unidades produzidas. Portanto, é a derivada da função de custo total . Para encontrar , precisamos integrar .

Passo 3

Vamos integrar a função de custo marginal:
Integrando termo a termo:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar a constante , usamos a informação de que o custo de fabricar uma unidade é R$25,00, ou seja, :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da função de custo total:

Passo 6

Finalmente, para calcular o custo de produção de 50 unidades, substituímos na função :

Resposta

A função de custo total é e o custo de produção de 50 unidades é de aproximadamente R$986,26.

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