Resolver com delta de dirac e fator integrante:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui: com a condição inicial . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolver. Precisamos entender como aplicar esse método passo a passo para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observando , que na verdade representa a variável , podemos dividir toda a equação por (assumindo que ) para deixar a equação na forma padrão das equações lineares:
Agora, temos uma equação na forma:
onde e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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(1,5 pontos) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, compreendido entre o cilindro circular e o cilindro parabólico .
Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:
Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Determine a área da parte da esfera que está dentro do paraboloide .