Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
com a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolver. Precisamos entender como aplicar esse método passo a passo para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observando
, que na verdade representa a variável
, podemos dividir toda a equação por
(assumindo que
) para deixar a equação na forma padrão das equações lineares:
Agora, temos uma equação na forma:
onde
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
(1,5 pontos) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, compreendido entre o cilindro circular
e o cilindro parabólico
.
Calcule as seguintes integrais, usando mudança de variável:
Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Determine a área da parte da esfera
que está dentro do paraboloide
.