Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral usando dois métodos: substituição e integração por partes. A integral que vamos resolver é:
Aqui, a matéria envolvida são as técnicas de integração, especificamente substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral usando o método de substituição. A integral que temos parece ser o resultado, então vamos inverter o processo para encontrar a função original que, ao ser integrada, resulta nessa expressão.
Vamos considerar a função:
Queremos encontrar a integral de . Vamos usar substituição para simplificar.

Passo 3

Escolhemos uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
Simplificando:

Passo 5

Integrando :
Agora, substituímos :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral usando o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e .

Passo 7

Calculamos e :
Para encontrar , precisamos integrar :
Essa integral requer substituição. Vamos usar , mas já sabemos que a integral de resulta em:

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Essa expressão se simplifica para a própria integral, confirmando que a solução obtida pelo método de substituição está correta.

Resposta

A integral de é:

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