Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral usando dois métodos: substituição e integração por partes. A integral que vamos resolver é:
Aqui, a matéria envolvida são as técnicas de integração, especificamente substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral usando o método de substituição. A integral que temos parece ser o resultado, então vamos inverter o processo para encontrar a função original que, ao ser integrada, resulta nessa expressão.
Vamos considerar a função:
Queremos encontrar a integral de
. Vamos usar substituição para simplificar.
Passo 3
Escolhemos uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:
Passo 5
Integrando
:
Agora, substituímos
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral usando o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
.
Passo 7
Calculamos
e
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Essa integral requer substituição. Vamos usar
, mas já sabemos que a integral de
resulta em:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Essa expressão se simplifica para a própria integral, confirmando que a solução obtida pelo método de substituição está correta.
Resposta
A integral de
é:
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