Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a integral indefinida da função racional dada:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integração de funções que combinam polinômios e funções logarítmicas. Vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração indefinida. Basicamente, é o processo de encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando. No nosso caso, queremos achar uma função
tal que:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando a função que estamos integrando é um produto de duas funções mais simples. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa função serão
e
. Vamos escolher:
-
(porque derivar logaritmos simplifica a expressão) -
(assim, podemos integrar facilmente para encontrar )
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
Derivando
: Aplicando a regra da cadeia:Simplificando: -
Integrando
para encontrar :
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando a integral restante:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral que ficou:
Podemos fatorar o 3:
Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolha:
Calculando
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver a integral restante:
Aplicando integração por partes uma última vez:
Escolha:
Calculando
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Passo 9
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Integrando:
Passo 10
Voltando aos passos anteriores, substituímos tudo de volta:
Simplificando toda a expressão:
Resposta
A integral indefinida da função dada é:
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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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