Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a integral indefinida da função racional dada:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integração de funções que combinam polinômios e funções logarítmicas. Vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração indefinida. Basicamente, é o processo de encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando. No nosso caso, queremos achar uma função tal que:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando a função que estamos integrando é um produto de duas funções mais simples. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa função serão e . Vamos escolher:
  • (porque derivar logaritmos simplifica a expressão)
  • (assim, podemos integrar facilmente para encontrar )

Passo 4

Vamos calcular e :
  1. Derivando :
    Aplicando a regra da cadeia:
    Simplificando:
  2. Integrando para encontrar :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , e :
Simplificando a integral restante:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
Podemos fatorar o 3:
Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolha:
Calculando e :
  1. Derivando :
  2. Integrando :

Passo 7

Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 8

Vamos resolver a integral restante:
Aplicando integração por partes uma última vez:
Escolha:
Calculando e :
  1. Derivando :
  2. Integrando :

Passo 9

Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Integrando:

Passo 10

Voltando aos passos anteriores, substituímos tudo de volta:
Simplificando toda a expressão:

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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