Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
integral cos (ln (x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui a gente vai usar dois métodos diferentes: o método de substituição e a integração por partes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais envolvendo funções compostas e como aplicar esses métodos passo a passo.

Passo 2

Usando o Método de Substituição
Primeiro, vamos tentar simplificar a integral com substituição. Olha só:
  1. Escolha da substituição: Vamos definir integral cos(ln(x)) , dx = integral cos(u) cdot e^u , du . Isso porque a função dentro do cosseno é , e ao substituir, simplificamos a integral.
  2. Derivando : Calculamos ou seja, . Mas lembrando que (pois ), então .
  3. Substituindo na integral:
  4. Nova integral: Agora temos que resolver . Essa é uma integral padrão que usamos a integração por partes para resolver, mas como estamos começando com substituição, vamos deixar isso para o próximo método.

Passo 3

Usando a Integração por Partes
Agora, vamos resolver a integral original usando integração por partes diretamente.
  1. Escolha das partes: Lembra da fórmula de integração por partes:
    integral u , dv = uv - integral v , du
    Vamos escolher:
    u = cos(ln(x)) Rightarrow du = -sin(ln(x)) cdot 1x , dx
    dv = dx Rightarrow v = x
  2. Aplicando a fórmula:
    integral cos(ln(x)) , dx = x cos(ln(x)) - integral x cdot ( -sin(ln(x)) cdot 1x ) , dx
    Simplificando:
    = x cos(ln(x)) + integral sin(ln(x)) , dx
  3. Nova integral u = sin(ln(x)) Rightarrow du = cos(ln(x)) cdot 1x , dx : Vamos aplicar integração por partes novamente:
    dv = dx Rightarrow v = x
    integral sin(ln(x)) , dx = x sin(ln(x)) - integral x cdot cos(ln(x)) cdot 1x , dx
    Aplicando:
    = x sin(ln(x)) - integral cos(ln(x)) , dx
    Simplificando:
    integral cos(ln(x)) , dx = x cos(ln(x)) + x sin(ln(x)) - integral cos(ln(x)) , dx
  4. Montando a equação: Voltando à primeira aplicação de integração por partes:
    2 integral cos(ln(x)) , dx = x cos(ln(x)) + x sin(ln(x))
    Agora, somamos integral cos(ln(x)) , dx = x (cos(ln(x)) + sin(ln(x)))2 + C dos dois lados:
    Portanto:
    Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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