Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui a gente vai usar dois métodos diferentes: o método de substituição e a integração por partes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais envolvendo funções compostas e como aplicar esses métodos passo a passo.
Passo 2
Usando o Método de Substituição
Primeiro, vamos tentar simplificar a integral com substituição. Olha só:
-
Escolha da substituição: Vamos definir
. Isso porque a função dentro do cosseno é , e ao substituir, simplificamos a integral. -
Derivando
: Calculamos ou seja, . Mas lembrando que (pois ), então . -
Substituindo na integral:
-
Nova integral: Agora temos que resolver
. Essa é uma integral padrão que usamos a integração por partes para resolver, mas como estamos começando com substituição, vamos deixar isso para o próximo método.
Passo 3
Usando a Integração por Partes
Agora, vamos resolver a integral original usando integração por partes diretamente.
-
Escolha das partes: Lembra da fórmula de integração por partes:Vamos escolher:
-
Aplicando a fórmula:Simplificando:
-
Nova integral
: Vamos aplicar integração por partes novamente: Aplicando:Simplificando: -
Montando a equação: Voltando à primeira aplicação de integração por partes:Agora, somamos
dos dois lados: Portanto:Ondeé a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a
.
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Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
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