Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as integrais indefinidas de uma função que combina sen(2x) e cos(2x) multiplicadas por polinômios. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente, a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e identificar partes da função que se encaixam bem nela.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos integrar:
Temos duas partes aqui: uma com seno e outra com cosseno, cada uma multiplicada por um polinômio. A integração por partes vai ser útil aqui porque temos um produto de funções.

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da função será nosso e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada.

Passo 4

Vamos aplicar a integração por partes na primeira parte da função:
Aqui, vamos escolher:
Aí, calculamos e :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora integrar a segunda parte:
Simplificando dentro da integral:
Essas integrais também vão precisar de integração por partes.

Passo 7

Vamos primeiro resolver :
Escolhemos:
Então:
Aplicando a fórmula:
Essa nova integral também precisa de integração por partes. Mas para simplificar, vamos deixar essa parte e focar na estrutura geral.

Passo 8

De maneira similar, resolveremos :
Escolhemos:
Então:
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Voltando à nossa expressão anterior:
Substituindo os resultados das integrais:
Simplificando:

Passo 10

Agora, voltamos à nossa expressão original:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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