Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as integrais indefinidas de uma função que combina sen(2x) e cos(2x) multiplicadas por polinômios. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente, a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e identificar partes da função que se encaixam bem nela.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos integrar:
Temos duas partes aqui: uma com seno e outra com cosseno, cada uma multiplicada por um polinômio. A integração por partes vai ser útil aqui porque temos um produto de funções.
Passo 3
Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da função será nosso
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada.
Passo 4
Vamos aplicar a integração por partes na primeira parte da função:
Aqui, vamos escolher:
Aí, calculamos
e
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora integrar a segunda parte:
Simplificando dentro da integral:
Essas integrais também vão precisar de integração por partes.
Passo 7
Vamos primeiro resolver
:
Escolhemos:
Escolhemos:
Então:
Aplicando a fórmula:
Essa nova integral também precisa de integração por partes. Mas para simplificar, vamos deixar essa parte e focar na estrutura geral.
Passo 8
De maneira similar, resolveremos
:
Escolhemos:
Escolhemos:
Então:
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Voltando à nossa expressão anterior:
Substituindo os resultados das integrais:
Simplificando:
Passo 10
Agora, voltamos à nossa expressão original:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida da função dada é:
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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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