Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
1/2 (sec(x) tg(x) + ln(sec(x) + tg(x))) + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a integral indefinida de uma função que parece um pouco complicada. A expressão que vamos integrar é:
Neste problema, estamos lidando com funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e integrais conhecidas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos integrar. A função que temos é:
Como é a constante de integração, podemos focar na parte que envolve as funções trigonométricas e o logaritmo:
Vamos dividir essa função em duas partes para facilitar a integração:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira Parte:
Sabemos que a derivada de é . Portanto, a integral de em relação a é .
Então,
Segunda Parte:
Essa parte é um pouco mais complicada. Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição.

Passo 4

Vamos realizar a substituição para a segunda parte:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Mas observe que:
Embora isso ajude a entender a derivada, nossa substituição simples não simplifica diretamente a integral. Então, em vez disso, reconhecemos que essa integral é conhecida e está relacionada à função logarítmica que já temos.
Na verdade, a integral de em relação a é uma expressão que envolve funções trigonométricas e logaritmos, e seu resultado é justamente a parte que temos na expressão original.
Portanto,
Mas como estamos integrando vezes essa função, o resultado será:

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas partes que integramos.
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando ambas as partes:
Onde é simplesmente uma constante de integração geral.

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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