Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a integral indefinida de uma função que parece um pouco complicada. A expressão que vamos integrar é:
Neste problema, estamos lidando com funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e integrais conhecidas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que queremos integrar. A função que temos é:
Como
é a constante de integração, podemos focar na parte que envolve as funções trigonométricas e o logaritmo:
Vamos dividir essa função em duas partes para facilitar a integração:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira Parte:
Sabemos que a derivada de
é
. Portanto, a integral de
em relação a
é
.
Então,
Segunda Parte:
Essa parte é um pouco mais complicada. Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição.
Passo 4
Vamos realizar a substituição para a segunda parte:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Mas observe que:
Embora isso ajude a entender a derivada, nossa substituição simples não simplifica diretamente a integral. Então, em vez disso, reconhecemos que essa integral é conhecida e está relacionada à função logarítmica que já temos.
Na verdade, a integral de
em relação a
é uma expressão que envolve funções trigonométricas e logaritmos, e seu resultado é justamente a parte que temos na expressão original.
Portanto,
Mas como estamos integrando
vezes essa função, o resultado será:
Passo 5
Agora, vamos juntar as duas partes que integramos.
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando ambas as partes:
Onde
é simplesmente uma constante de integração geral.
Resposta
A integral indefinida da função dada é: