Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida da seguinte função:
Isso significa que queremos descobrir qual função, quando derivada, nos dá essa expressão. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração de funções trigonométricas multiplicadas por polinômios.
Passo 2
Vamos observar a função que queremos integrar:
Perceba que temos termos envolvendo o cosseno e o seno de
multiplicados por polinômios em
. Isso sugere que nosso resultado final será uma combinação de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de uma soma é a soma das integrais.
Primeiro, vamos integrar:
E depois:
Passo 4
Começando pela primeira parte:
Vamos distribuir o cosseno:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, que é uma técnica onde integramos produtos de funções.
Passo 5
Aplicando a integração por partes na primeira integral:
Escolhemos:
Então:
Passo 6
Agora, para a segunda integral:
Isso também requer integração por partes, e será necessário aplicar o método várias vezes devido ao
. Mas para simplificar, sabemos que o resultado dessa integral será uma combinação de funções de e
, onde
varia de 0 a 3.
Passo 7
Passando para a segunda parte da função original:
Distribuindo o seno:
A segunda integral aqui é mais simples e podemos integrar diretamente.
Passo 8
Integrando a segunda integral:
E para a primeira integral envolvendo , novamente usamos integração por partes, possivelmente mais de uma vez.
Passo 9
Após realizar todas as integrações por partes necessárias e simplificar, combinamos todas as partes integradas:
Resposta
A integral indefinida da função dada é:
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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
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