Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida da seguinte função:
Isso significa que queremos descobrir qual função, quando derivada, nos dá essa expressão. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração de funções trigonométricas multiplicadas por polinômios.

Passo 2

Vamos observar a função que queremos integrar:
Perceba que temos termos envolvendo o cosseno e o seno de multiplicados por polinômios em . Isso sugere que nosso resultado final será uma combinação de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de uma soma é a soma das integrais.
Primeiro, vamos integrar:
E depois:

Passo 4

Começando pela primeira parte:
Vamos distribuir o cosseno:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, que é uma técnica onde integramos produtos de funções.

Passo 5

Aplicando a integração por partes na primeira integral:
Escolhemos:
Então:

Passo 6

Agora, para a segunda integral:
Isso também requer integração por partes, e será necessário aplicar o método várias vezes devido ao . Mas para simplificar, sabemos que o resultado dessa integral será uma combinação de funções de e , onde varia de 0 a 3.

Passo 7

Passando para a segunda parte da função original:
Distribuindo o seno:
A segunda integral aqui é mais simples e podemos integrar diretamente.

Passo 8

Integrando a segunda integral:
E para a primeira integral envolvendo , novamente usamos integração por partes, possivelmente mais de uma vez.

Passo 9

Após realizar todas as integrações por partes necessárias e simplificar, combinamos todas as partes integradas:

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
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