Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
usando dois métodos: substituição e integração por partes. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Precisaremos entender como aplicar a substituição adequada e como repartir a integral para aplicar a integração por partes de forma eficiente.
Passo 2
Método de Substituição
Primeiro, vamos tentar resolver a integral usando o método de substituição. A ideia aqui é identificar uma parte da expressão que, quando substituída por uma nova variável, simplifica a integral.
Vamos observar a função exponencial
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Isso nos dá uma pista de que talvez possamos escolher
.
Então, seja:
Agora, precisamos reescrever a integral em termos de
. Vamos manipular a parte polinomial da integral:
Agora, substituímos na integral:
Mas aqui percebemos um problema: ainda temos um termo
na expressão, que não conseguimos eliminar completamente. Isso indica que o método de substituição direta pode não ser o mais eficiente para essa integral específica.
Passo 3
Método de Integração por Partes
Já que a substituição direta não simplificou bastante a integral, vamos tentar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Para aplicar essa fórmula, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Vamos escolher:
Agora, vamos encontrar
e
:
No entanto, encontramos outro problema: a integral de
não possui uma antiderivada em termos de funções elementares conhecidas. Isso significa que não podemos expressar
de forma simples usando funções básicas.
Passo 4
Conclusão dos Métodos
Após tentar ambos os métodos, percebemos que:
-
Substituição: Apesar de termos conseguido expressar parte da integral em termos de
, ainda ficamos com um termo na integral substituída, o que não simplificou o problema. -
Integração por Partes: Ao escolherte
, nos deparamos com uma integral que envolve , cuja antiderivada não é expressável em funções elementares.
Isso indica que, para essa integral específica, métodos padrão de integração não são suficientes para encontrar uma antiderivada fechada usando funções elementares. A integral de
está relacionada à função erro, que é uma função especial em matemática.
Resposta
Portanto, a integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares usando os métodos de substituição e integração por partes. A solução envolve funções especiais, como a função erro (
), e geralmente é expressa em termos dessa função:
Onde
é a constante de integração.
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