Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar as integrais indefinidas da função
. Isso está dentro do Cálculo Integral, especificamente usando integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. Ela é uma ferramenta que usamos quando temos a integral de um produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe
e
de forma que a nova integral
seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Para encontrar
, vamos integrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos que lidar com a integral
. Essa integral não é tão direta e envolve técnicas mais avançadas ou pode ser expressa em termos de séries. No entanto, para fins didáticos, vamos olhar para a expressão original que nos foi dada:
Perceba que a derivada dessa expressão é exatamente
, confirmando que essa é a antiderivada correta.
Resposta
Portanto, a integral indefinida de
é:
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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.