Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida da função . Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja . Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais envolvendo funções exponenciais e racionais.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função que queremos integrar é . Essa é uma combinação de uma função exponencial e uma função racional .

Passo 3

Para resolver integrais que envolvem o produto de funções exponenciais e racionais, uma técnica comum é tentar uma substituição que simplifique a integral. Vamos tentar uma substituição simples:
Seja , então .
Substituindo na integral:

Passo 4

No entanto, após a substituição, ainda temos em termos de , que não está diretamente em termos de . Isso indica que uma substituição simples não resolve o problema diretamente.

Passo 5

Quando a substituição direta não funciona, podemos considerar o uso de séries de potência ou reconhecer que a integral pode não ser expressa em termos de funções elementares. De fato, a integral de não pode ser expressa usando funções básicas como polinomiais, exponenciais, logarítmicas ou trigonométricas.

Passo 6

Nesse caso, usamos a função especial conhecida como Integral Exponencial, denotada por , que é definida como:
Usando essa definição, podemos expressar nossa integral em termos de .

Passo 7

Portanto, a integral de é:

Resposta

A integral indefinida de é:
onde é a constante de integração e é a Função Integral Exponencial.

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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