Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Hoje vamos encontrar a integral indefinida da função racional . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a função, percebemos que está elevado a uma potência e também está presente na outra parte da expressão. Vamos definir:
Com isso, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Então:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função original em termos de . Substituindo por e por :
Mas precisamos expressar em termos de . Como , então:
Substituindo na expressão:

Passo 4

Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:
Isso simplifica nossa integral para:
Podemos fatorar a constante:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Simplificando os coeficientes:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para obter a integral em termos de :

Resposta

A integral indefinida é:

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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