Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Hoje vamos encontrar a integral indefinida da função racional
. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a função, percebemos que
está elevado a uma potência e também está presente na outra parte da expressão. Vamos definir:
Com isso, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função original em termos de
. Substituindo
por
e
por
:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Como
, então:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Vamos agora expandir a expressão dentro da integral:
Isso simplifica nossa integral para:
Podemos fatorar a constante:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Simplificando os coeficientes:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para obter a integral em termos de
:
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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