Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Vamos lá! Você quer encontrar a integral indefinida de uma função racional. Isso significa que precisamos descobrir qual função, quando derivada, nos dá a função racional que estamos analisando. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração como substituição e frações parciais. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar. Pelo enunciado, parece que queremos encontrar a integral de uma função que, após a integração, resulta em:
Mas para fins de explicação, vamos supor que a função a ser integrada seja:
Nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos definir:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que ficou:
Para isso, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando :

Passo 7

Agora, voltamos à expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida da função é:

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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