Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para encontrar a integral indefinida da função racional:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais de funções que combinam exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções do tipo e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que queremos integrar:
Aqui, temos uma combinação de exponencial
com funções trigonométricas e
, tudo dividido por
. O
que aparece no final é a constante de integração que sempre colocamos quando calculamos uma integral indefinida.
Passo 3
Vamos identificar uma função cuja derivada se assemelha à nossa função
. Observamos que:
Isso porque, ao derivar
, usamos a regra da derivada de exponenciais, que nos dá
. E ao derivar , obtemos
.
Passo 4
Comparando isso com a nossa função
:
Vemos que
é essencialmente a derivada de , mas dividida por
. Isso significa que, para encontrar a integral de
, precisamos basicamente “desfazer” a derivada, ajustando pelo fator de divisão.
Passo 5
Portanto, a integral de
será:
Onde
é a constante de integração. Isso porque, ao derivar , recuperamos exatamente a função
.
Resposta
A integral indefinida da função é:
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