Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para encontrar a integral indefinida da função racional:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais de funções que combinam exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções do tipo e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que queremos integrar:
Aqui, temos uma combinação de exponencial com funções trigonométricas e , tudo dividido por . O que aparece no final é a constante de integração que sempre colocamos quando calculamos uma integral indefinida.

Passo 3

Vamos identificar uma função cuja derivada se assemelha à nossa função . Observamos que:
Isso porque, ao derivar , usamos a regra da derivada de exponenciais, que nos dá . E ao derivar , obtemos .

Passo 4

Comparando isso com a nossa função :
Vemos que é essencialmente a derivada de , mas dividida por . Isso significa que, para encontrar a integral de , precisamos basicamente “desfazer” a derivada, ajustando pelo fator de divisão.

Passo 5

Portanto, a integral de será:
Onde é a constante de integração. Isso porque, ao derivar , recuperamos exatamente a função .

Resposta

A integral indefinida da função é:

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