Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma integral que envolve exponenciais e raízes quadradas. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, e vamos usar dois métodos: substituição e integração por partes. Vou te mostrar como aplicar cada um desses métodos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma parte que é fácil de substituir por uma nova variável, simplificando a expressão.
Olha só a integral que temos:
Vamos escolher uma substituição que simplifique o expoente. Vamos deixar:
Passo 3
Com
, precisamos achar
. Sabemos que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver as integrais
e
. Para isso, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos primeiro resolver
:
Escolha
e
, então
e
.
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora, vamos resolver
. Aqui, aplicamos a integração por partes duas vezes.
Primeira vez:
Escolha e
, então
e
.
Escolha
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver
:
Usando o resultado anterior:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos voltar à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral é igual a: