Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
2 * e^(raiz(x)) * (raiz(x) - 1) + C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma integral que envolve exponenciais e raízes quadradas. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, e vamos usar dois métodos: substituição e integração por partes. Vou te mostrar como aplicar cada um desses métodos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma parte que é fácil de substituir por uma nova variável, simplificando a expressão.
Olha só a integral que temos:
Vamos escolher uma substituição que simplifique o expoente. Vamos deixar:

Passo 3

Com , precisamos achar . Sabemos que:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver as integrais e . Para isso, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos primeiro resolver :
Escolha e , então e .
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Agora, vamos resolver . Aqui, aplicamos a integração por partes duas vezes.
Primeira vez:
Escolha e , então e .
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver :
Usando o resultado anterior:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos voltar à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

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