Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
x - arcsen(x) * raiz(1 - x^2) + C

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a integral indefinida da função . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração por partes e substituição trigonométrica, para resolver isso. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 3

A primeira integral é simples:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda integral: . Para resolver isso, podemos usar a técnica de substituição.
Vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 5

Rearranjando para expressar :

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
Mas, sabemos que , então .

Passo 7

Substituindo :
Para resolver essa integral, utilizamos integração por partes.

Passo 8

Integração por partes:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Aplicando:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:

Passo 10

Voltando para , e lembrando que , temos:
Simplificando:

Passo 11

Agora, juntando todas as partes:

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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