Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a integral indefinida da função . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração por partes e substituição trigonométrica, para resolver isso. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
A primeira integral é simples:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda integral: . Para resolver isso, podemos usar a técnica de substituição.
Vamos fazer a seguinte substituição:
Passo 5
Rearranjando para expressar
:
Passo 6
Agora, substituímos na integral:
Mas, sabemos que
, então
.
Passo 7
Substituindo
:
Para resolver essa integral, utilizamos integração por partes.
Passo 8
Integração por partes:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Aplicando:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Passo 10
Voltando para , e lembrando que
, temos:
Simplificando:
Passo 11
Agora, juntando todas as partes:
Resposta
A integral indefinida da função dada é: