Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para encontrar a integral da função
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica para funções que são produtos de duas funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que podemos separar para aplicar a integração por partes. A função que queremos integrar é:
Vamos focar na parte
para aplicar a integração por partes.
Passo 3
A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
-
(que é fácil de derivar) -
(que podemos integrar facilmente)
Passo 4
Agora, calculamos
e
:
Passo 5
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver
.
Passo 6
A integral
é uma integral complicada que não pode ser expressa em termos de funções elementares. No entanto, como estamos procurando uma antiderivada geral, podemos deixar essa parte como está e adicionar uma constante de integração. Portanto:
Passo 7
Voltando à nossa função original, temos:
Substituindo o resultado da Passo 6:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Como
não pode ser simplificada mais, a solução final fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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