Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
e^(-t)(pi sen(pi t) - cos(pi t)) / (pi^2 + 1) + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida da função que você forneceu:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer técnicas de integração envolvendo produtos de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que o denominador é uma constante. Podemos fatorar essa constante para facilitar a integração:
Agora, temos uma constante multiplicando a integral que precisamos resolver.

Passo 3

Vamos focar na integral dentro da expressão:
Podemos dividir essa integral em duas partes:
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver separadamente.

Passo 4

Para resolver integrais do tipo e , usamos as fórmulas:
No nosso caso, e .

Passo 5

Aplicando essas fórmulas às integrais que temos:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 6

Simplificando as expressões:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 7

Agora, somamos as duas partes:
Juntando os termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Por fim, voltamos à constante que fatoramos no início:
Como , podemos escrever:

Resposta

A integral indefinida da função é:

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