Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida da função racional que você enviou. O enunciado pede para encontrarmos:
Aqui, estamos lidando com integração de funções que envolvem exponenciais e expressões racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar nossa vida. Vamos distribuir o termo dentro dos parênteses:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição para tornar a integração mais simples. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Mas como , podemos escrever , e substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos substituir e na nossa integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

No entanto, essa substituição está nos complicando mais. Vamos tentar uma abordagem diferente observando a derivada de uma função similar.
Considere a função . Vamos derivar em relação a :
Perceba que:
Isso é exatamente o que está dentro da nossa integral!

Passo 6

Então, podemos escrever:

Resposta

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
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