Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral da função . Para resolver isso, vamos usar dois métodos de integração: o método de substituição e a integração por partes. Esses métodos são ferramentas essenciais no cálculo para encontrar antiderivadas de funções mais complexas.
Passo 2
Vamos começar aplicando o método de substituição. A ideia aqui é simplificar a integral escolhendo uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.
Seja
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Como
, podemos reescrever
como
.
Agora, substituímos na integral:
Passo 3
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Primeiro, integramos :
Aqui, usamos a integração por partes, onde:
Então, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 4
Agora, integramos
:
Novamente, usamos integração por partes. Esta vez, fazemos:
Então:
Aplicando a fórmula:
A integral também requer integração por partes:
Então:
Assim:
Voltando à integral original:
Passo 5
Agora, juntando todas as partes, temos:
Substituindo
de volta:
Então, a integral é:
Resposta
A integral de é:
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para o dado valor de
:
y^{\prime}=-\frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y)-1}
]
]