Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral da função . Para resolver isso, vamos usar dois métodos de integração: o método de substituição e a integração por partes. Esses métodos são ferramentas essenciais no cálculo para encontrar antiderivadas de funções mais complexas.

Passo 2

Vamos começar aplicando o método de substituição. A ideia aqui é simplificar a integral escolhendo uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.
Seja . Então, derivando ambos os lados em relação a , obtemos:
Como , podemos reescrever como .
Agora, substituímos na integral:

Passo 3

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Primeiro, integramos :
Aqui, usamos a integração por partes, onde:
Então, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 4

Agora, integramos :
Novamente, usamos integração por partes. Esta vez, fazemos:
Então:
Aplicando a fórmula:
A integral também requer integração por partes:
Então:
Assim:
Voltando à integral original:

Passo 5

Agora, juntando todas as partes, temos:
Substituindo de volta:
Então, a integral é:

Resposta

A integral de é:

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