Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para encontrar a integral da função racional . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais que envolvem logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de integração por partes, que é ótima para funções que são produtos de polinômios e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Onde:
  • é uma função que vamos derivar ( )
  • é uma função que vamos integrar ( )

Passo 3

Agora, vamos identificar nosso e na função que temos. Nossa função é . Vamos escolher:
Assim, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
Agora, integrando para encontrar :

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:

Passo 6

Agora, vamos calcular essa última integral:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Podemos simplificar isso combinando os termos semelhantes:
Para simplificar os coeficientes, vamos encontrar um denominador comum, que é 225:
Distribuindo o 20:

Resposta

Então, a integral indefinida da função dada é:
Onde é a constante de integração.

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