Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para encontrar a integral da função racional
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais que envolvem logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de integração por partes, que é ótima para funções que são produtos de polinômios e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Onde:
-
é uma função que vamos derivar ( ) -
é uma função que vamos integrar ( )
Passo 3
Agora, vamos identificar nosso
e
na função que temos. Nossa função é
. Vamos escolher:
Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, integrando
para encontrar
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa última integral:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Podemos simplificar isso combinando os termos semelhantes:
Para simplificar os coeficientes, vamos encontrar um denominador comum, que é 225:
Distribuindo o 20:
Resposta
Então, a integral indefinida da função dada é:
Onde
é a constante de integração.
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: