Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto para o dado valor de :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação da reta que é tangente a essa função no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a determinar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de . Substituímos na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de pode ser calculada usando a regra do quociente ou reescrevendo a função como e aplicando a regra da potência.
Derivando:

Passo 4

Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto onde é:

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y^{\prime}=-\frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y)-1}
]
Use a regra da cadeia para encontrar .