y^{\prime}=-\frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y)-1}
]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação diferencial
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição de exatidão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais conveniente. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Aqui, identificamos as funções:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais e e ver se são iguais.
Calculando :
Calculando :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Fazendo a substituição , então :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto para o dado valor de :
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
Use a regra da cadeia para encontrar .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(a) Se e são duas funções deriváveis tais que para todo , então podemos concluir que para todo .