y^{\prime}=-\frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y)-1}
]
]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação diferencial
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição de exatidão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais conveniente. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Aqui, identificamos as funções:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais
e
e ver se são iguais.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Fazendo a substituição
, então
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante real.