O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para
da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante
) é de
faça o que se pede: Expresse a massa
, em gramas, após decorridos
de ciclos de meia vida (tempo
anos ). Qual é a massa de césio-137 que permanece ainda depois de decorrido 120 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a desintegração do césio-137, que é um processo onde a quantidade de material diminui ao longo do tempo. A ideia principal aqui é entender como a massa de césio-137 muda depois de certos períodos de meia-vida. Vamos usar conceitos de decadência exponencial e meia-vida para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade de uma substância radioativa se desintegrar. No nosso caso, a meia-vida do césio-137 é de 30 anos.
Passo 3
Sabemos que a quantidade de material que resta após cada meia-vida é metade do que estava antes. Então, se começamos com 100 gramas de césio-137, depois de uma meia-vida (30 anos), teremos 50 gramas.
Passo 4
Para generalizar isso para qualquer número de meia-vidas, usamos a fórmula da decadência exponencial:
Onde:
-
é a massa após meia-vidas, -
é a massa inicial (100 gramas), -
é o número de meia-vidas que passaram.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a massa após 120 anos. Primeiro, precisamos descobrir quantas meia-vidas se passaram em 120 anos.
Como cada meia-vida é de 30 anos:
Então, passaram-se 4 meia-vidas.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando
:
Então:
Resposta
Depois de 120 anos, permanecem 6,25 gramas de césio-137.
Exercícios relacionados
A população (em milhares) de uma colônia de bactérias
minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante
com
.
Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada:
Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência:
Calcule os limites abaixo.
(q)
(q)