O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade de material presente. Se sua meia vida (tempo necessário para 50 % da massa inicialmente presente desintegrar-se) é de 30 anos e se a massa inicial (presente no instante t = 0 ) é de 100 g faça o que se pede: Expresse a massa m = m(n), em gramas, após decorridos n de ciclos de meia vida (tempo t = n t_* anos ). Qual é a massa de césio-137 que permanece ainda depois de decorrido 120 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a desintegração do césio-137, que é um processo onde a quantidade de material diminui ao longo do tempo. A ideia principal aqui é entender como a massa de césio-137 muda depois de certos períodos de meia-vida. Vamos usar conceitos de decadência exponencial e meia-vida para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade de uma substância radioativa se desintegrar. No nosso caso, a meia-vida do césio-137 é de 30 anos.

Passo 3

Sabemos que a quantidade de material que resta após cada meia-vida é metade do que estava antes. Então, se começamos com 100 gramas de césio-137, depois de uma meia-vida (30 anos), teremos 50 gramas.

Passo 4

Para generalizar isso para qualquer número de meia-vidas, usamos a fórmula da decadência exponencial:
Onde:
  • é a massa após meia-vidas,
  • é a massa inicial (100 gramas),
  • é o número de meia-vidas que passaram.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a massa após 120 anos. Primeiro, precisamos descobrir quantas meia-vidas se passaram em 120 anos.
Como cada meia-vida é de 30 anos:
Então, passaram-se 4 meia-vidas.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Calculando :
Então:

Resposta

Depois de 120 anos, permanecem 6,25 gramas de césio-137.

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A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t) = { t^2 + 7 para 0 <= t < 5; -8t + 72 para t >= 5 }
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante t com 1 < t < 7.
Calcule as seguintes integrais usando uma substituição adequada: integral ln (2 x+3) d x
Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência:
& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots
Calcule os limites abaixo.
(q) lim x +infty(1+17 x)^x